Zahlen ====== Die vier Zahlentypen von Python sind ganze Zahlen, Gleitkommazahlen, komplexe Zahlen und Boolesche Zahlen: +-----------------------+-----------------------------------------------+ | Typ | Beispiele | +=======================+===============================================+ | Ganzzahlen | ``-1``, ``42``, ``90000000`` | +-----------------------+-----------------------------------------------+ | Gleitkommazahlen | ``90000000.0``, ``-0.005``, ``9e7``, ``-5e-3``| +-----------------------+-----------------------------------------------+ | Komplexe Zahlen | ``3 + 2j``, ``-4- 2j``, ``4.2 + 6.3j`` | +-----------------------+-----------------------------------------------+ | Boolesche Zahlen | ``True``, ``False`` | +-----------------------+-----------------------------------------------+ Sie können mit den arithmetischen Operatoren manipuliert werden: +-----------------------+-----------------------------------------------+ | Operator | Beschreibung | +=======================+===============================================+ | ``+`` | Addition | +-----------------------+-----------------------------------------------+ | ``-`` | Subtraktion | +-----------------------+-----------------------------------------------+ | ``*`` | Multiplikation | +-----------------------+-----------------------------------------------+ | ``/``, ``//`` | Division [#]_ | +-----------------------+-----------------------------------------------+ | ``**`` | Potenzierung | +-----------------------+-----------------------------------------------+ | ``%`` | Modulus | +-----------------------+-----------------------------------------------+ .. [#] Die Division ganzer Zahlen mit ``/`` führt zu einer Gleitkommazahl, und die Division ganzer Zahlen mit ``//`` führt zu einer Ganzzahl, die abgeschnitten wird. .. note:: Ganzzahlen können unbegrenzt groß sein, begrenzt nur durch den verfügbaren Speicher. Beispiele: .. code-block:: python >>> 8 + 3 - 5 * 3 -4 >>> 8 / 3 2.6666666666666665 >>> 8 // 3 2 >>> x = 4.2 ** 3.4 >>> x 131.53689544409096 >>> 9e7 * -5e-3 -450000.0 >>> -5e-3 ** 3 -1.2500000000000002e-07 .. seealso:: * Julia Evans: `Examples of floating point problems `_ * David Goldberg: `What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic `_ Komplexe Zahlen --------------- Komplexe Zahlen bestehen aus einem Realteil und einem `Imaginärteil `_, der in Python den Suffix ``j`` erhält. .. code-block:: python >>> 7 + 2j (7+2j) .. note:: Python drückt die resultierende komplexe Zahl in Klammern aus, um anzuzeigen, dass die Ausgabe den Wert eines einzelnen Objekts darstellt: .. code-block:: python >>> (7+2j) - (4+4j) (3-2j) .. code-block:: python >>> 2j * 4j (-8+0j) .. note:: Die Berechnung von ``2j * 4j`` ergibt die erwartete Antwort von ``-8``, aber das Ergebnis bleibt ein Python-Objekt für komplexe Zahlen. Komplexe Zahlen werden nie automatisch in entsprechende reelle oder ganzzahlige Objekte umgewandelt. Ihr könnt aber leicht auf ihre realen und imaginären Teile mit ``real`` und ``imag`` zugreifen. .. code-block:: python >>> x = 2j * 4j >>> x (-8+0j) >>> x.real -8.0 >>> x.imag 0.0 .. note:: Die Real- und Imaginärteile einer komplexen Zahl werden immer als Fließkommazahlen zurückgegeben. Built-in numerische Funktionen ------------------------------ Mehrere eingebaute Funktionen können mit Zahlen arbeiten: :func:`python3:abs` gibt den absoluten Wert einer Zahl zurück. Dabei kann das Argument eine Ganzzahl, eine Fließkommazahl oder ein Objekt sein, das ``__abs__()`` implementiert. Bei komplexen Zahlen als Argument wird ihr Betrag zurückgegeben. :func:`python3:divmod` nimmt zwei (nicht-komplexe) Zahlen als Argumente und gibt ein Zahlenpaar zurück, das aus ihrem Quotienten und dem Rest besteht, wenn eine ganzzahlige Division verwendet wird. :class:`python3:float` Gibt eine Fließkommazahl zurück, die aus einer Zahl oder Zeichenkette ``x`` gebildet wird. :func:`python3:hex` konvertiert eine Integer-Zahl in eine klein geschriebene hexadezimale Zeichenkette mit dem Präfix ``0x``. :class:`python3:int` gibt ein Integer-Objekt zurück, das aus einer Zahl oder Zeichenkette ``x`` konstruiert wurde, oder ``0``, wenn keine Argumente angegeben werden. :func:`python3:max` gibt das größte Element in einem :term:`python3:iterable` oder das größte von zwei oder mehr Argumenten zurück. :func:`python3:min` gibt das kleinste Element in einem Iterable oder das kleinste von zwei oder mehr Argumenten zurück. :func:`python3:oct` konvertiert eine Integer-Zahl in eine oktale Zeichenkette mit dem Präfix ``0o``. Das Ergebnis ist ein gültiger Python-Ausdruck. Wenn ``x`` kein Python :func:`int`-Objekt ist, muss es eine ``__index__()``-Methode definieren, die eine ganze Zahl zurückgibt. :func:`python3:pow` gibt *base* als Potenz von *exp* zurück. :func:`python3:round` gibt eine Zahl zurück, die auf *ndigits* nach dem Dezimalpunkt gerundet ist. Wird *ndigits* weggelassen oder ist *None*, wird die nächstgelegene Ganzzahl zur Eingabe zurückgegeben. Boolsche Werte -------------- In den folgenden Beispielen werden Boolesche Werte verwendet: .. code-block:: python >>> x = False >>> x False >>> not x True .. code-block:: python >>> y = True * 2 >>> y 2 Abgesehen von ihrer Darstellung als ``True`` und ``False`` verhalten sich Boolesche Werte wie die Zahlen ``1`` (``True``) und ``0`` (``False``). Erweiterte numerische Funktionen -------------------------------- Fortgeschrittenere numerische Funktionen wie Trigonometrie sowie einige nützliche Konstanten sind nicht in Python integriert, sondern werden in einem Standardmodul namens :doc:`math ` bereitgestellt. :doc:`Module ` werden später noch ausführlicher erklärt. Für den Moment genügt, dass ihr die mathematischen Funktionen in diesem Abschnitt verfügbar machen müsst, indem ihr ``math`` importiert: .. code-block:: python import math Eingebaute Funktionen sind immer verfügbar und werden mit einer Standard-Syntax für Funktionsaufrufe aufgerufen. Im folgenden Code wird ``round`` mit einem Float als Eingangsargument aufgerufen. .. code-block:: python >>> round(2.5) 2 Mit ``ceil`` aus der Standardbibliothek ``math`` und der Attributschreibweise :samp:`MODUL.FUNKTION(ARGUMENT)` wird aufgerundet: .. code-block:: python >>> math.ceil(2.5) 3 Das ``math``-Modul bietet :abbr:`u.a. (unter anderem)` * die zahlentheoretischen und Darstellungsfunktionen :func:`python3:math.ceil`, :func:`python3:math.modf`, :func:`python3:math.frexp` und :func:`python3:math.ldexp`, * die Potenz- und logarithmische Funktionen :func:`python3:math.exp`, :func:`python3:math.log`, :func:`python3:math.log10`, :func:`python3:math.pow` und :func:`python3:math.sqrt`, * die trigonometrischen Funktionen :func:`python3:math.acos`, :func:`python3:math.asin`, :func:`python3:math.atan`, :func:`python3:math.atan2`, :func:`python3:math.ceil`, :func:`python3:math.cos`, :func:`python3:math.hypot` und :func:`python3:math.sin`, * die hyperbolischen Funktionen :func:`python3:math.cosh`, :func:`python3:math.sinh` und :func:`python3:math.tanh` * und die Konstanten :data:`python3:math.e` und :data:`python3:math.pi`. Erweiterte Funktionen für komplexe Zahlen ----------------------------------------- Die Funktionen im Modul :doc:`math ` sind nicht auf komplexe Zahlen anwendbar; einer der Gründe hierfür dürfte sein, dass die Quadratwurzel aus ``-1`` einen Fehler erzeugen soll. Daher wurden ähnliche Funktionen für komplexe Zahlen arbeiten im :doc:`cmath `-Modul bereitgestellt: :func:`python3:cmath.acos`, :func:`python3:cmath.acosh`, :func:`python3:cmath.asin`, :func:`python3:cmath.asinh`, :func:`python3:cmath.atan`, :func:`python3:cmath.atanh`, :func:`python3:cmath.cos`, :func:`python3:cmath.cosh`, :func:`python3:cmath.e`, :func:`python3:cmath.exp`, :func:`python3:cmath.log`, :func:`python3:cmath.log10`, :func:`python3:cmath.pi`, :func:`python3:cmath.sin`, :func:`python3:cmath.sinh`, :func:`python3:cmath.sqrt`, :func:`python3:cmath.tan`, :func:`python3:cmath.tanh`. Um im Code deutlich zu machen, dass es sich bei diesen Funktionen um spezielle Funktionen für komplexe Zahlen handelt, und um Namenskonflikte mit den normaleren Äquivalenten zu vermeiden, empfiehlt sich der einfache Import des Moduls um bei der Verwendung der Funktion ausdrücklich auf das ``cmath``-Paket zu verweisen, :abbr:`z.B. (zum Beispiel)`: .. code-block:: python >>> import cmath >>> cmath.sqrt(-2) 1.4142135623730951j .. warning:: Nun wird auch verständlicher, weswegen wir nicht den Import aller Funktionen eines Moduls empfehlen mit :samp:`from {MODULE} import \*`. Wenn ihr damit zuerst das Modul ``math`` und dann das Modul ``cmath`` importieren würdet, hätten die Funktionen in ``cmath`` Vorrang vor denen von ``math``. Außerdem ist es beim Verstehen des Codes viel mühsamer, die Quelle der verwendeten Funktionen herauszufinden. Kaufmännisch runden ------------------- Üblicherweise rechnet Python Gleitkommazahlen der `IEEE 754 `_-Norm entsprechend, wobei Zahlen in der Mitte in der Hälfte der Fälle abgerundet werden und in der anderen Hälfte aufgerundet werden um eine statistische Drift bei längeren Rechnungen zu vermeiden. Für das `kaufmännische Runden werden `_ daher :class:`Decimal ` und :data:`ROUND_HALF_UP ` aus dem :py:mod:`decimal`-Modul benötigt: .. code-block:: python >>> import decimal >>> num = decimal.Decimal("2.5") >>> rounded = num.quantize(decimal.Decimal("0"), rounding = decimal.ROUND_HALF_UP) >>> rounded Decimal('3') Numerische Berechnungen ----------------------- Die Python-Standardinstallation eignet sich aufgrund von Geschwindigkeitseinschränkungen nicht gut für intensive numerische Berechnungen. Aber die leistungsstarke Python-Erweiterung :doc:`Python4DataScience:workspace/numpy/index` bieten hocheffiziente Implementierungen vieler fortgeschrittener numerischer Operationen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf Array-Operationen, einschließlich mehrdimensionaler Matrizen und fortgeschrittener Funktionen wie der schnellen Fourier-Transformation. Eingebaute Module für Zahlen ---------------------------- Die Python-Standardbibliothek enthält eine Reihe eingebauter Module, mit denen ihr Zahlen managen könnt: .. _number-modules: +-----------------------+-------------------------------------------------------------------------------+ | Modul | Beschreibung | +=======================+===============================================================================+ | :py:mod:`numbers` | für numerische abstrakte Basisklassen | +-----------------------+-------------------------------------------------------------------------------+ | :py:mod:`math`, | für mathematische Funktionen für reelle und komplexe Zahlen | | :py:mod:`cmath` | | +-----------------------+-------------------------------------------------------------------------------+ | :py:mod:`decimal` | für dezimale Festkomma- und Gleitkomma-Arithmetik | +-----------------------+-------------------------------------------------------------------------------+ | :py:mod:`statistics` | für Funktionen zur Berechnung von mathematischen Statistiken | +-----------------------+-------------------------------------------------------------------------------+ | :py:mod:`fractions` | für rationale Zahlen | +-----------------------+-------------------------------------------------------------------------------+ | :py:mod:`random` | zum Erzeugen von Pseudozufallszahlen und -auswahlen sowie zum Mischen von | | | Sequenzen | +-----------------------+-------------------------------------------------------------------------------+ | :py:mod:`itertools` | für Funktionen, die Iteratoren für effiziente Schleifen erzeugen | +-----------------------+-------------------------------------------------------------------------------+ | :py:mod:`functools` | für Funktionen höherer Ordnung und Operationen auf aufrufbaren Objekten | +-----------------------+-------------------------------------------------------------------------------+ | :py:mod:`operator` | für Standardoperatoren als Funktionen | +-----------------------+-------------------------------------------------------------------------------+